Magic Mirror on the Wall

দুঃখের ব্যাপার, চালাকান্তী ক্যাবলাকান্তকে ফেলে মেলা থেকে চলে গেছে। :-(

ধরো, ক্যাবলাকান্ত $A$ বিন্দুতে এবং চালাকান্তী $B$ বিন্দুতে আছে। আলোর প্রতিফলনের সূত্রানুযায়ী, $C$ বিন্দুতে ক্যাবলাকান্ত চালাকান্তীকে দেখতে পেলে $\angle ACD = \angle BCD$ হতে হবে। আবার যেহেতু $CD$ আয়নার তলের উপর লম্ব, $\angle ACE = \angle BCF$ হবে। $B', ~B$ এর এবং $F', ~F$ এর সদৃশ বিন্দু হলে, সদৃশ ত্রিভুজের গুণাবলী অনুযায়ী, $\frac{B'F'}{AE} = \frac{CF'}{CE}$। উল্লেখ্য, $AE, BF, B'F'$ আয়নার তলের উপর লম্ব।

এখানে, $\frac{B'F'}{AE} = \frac{CF'}{CE}$

বা, $\frac{B'F' + AE}{AE} = \frac{CF' + CE}{CE}$

বা, $\frac{B'F' + AE}{AE} = \frac{EF}{CE}$

বা, $CE = EF (\frac{AE}{B'F' + AE})$

বা, $CE = (x_2 - x_1) (\frac{y_1}{y_1 + y_2})$

সুতরাং $C(x, ~y) = (x_1 + (x_2 - x_1) (\frac{y_1}{y_1 + y_2}), ~0)$